Мудрый Экономист

Винтажный анализ портфеля: методика применения для кредитов мсб

"Банковское кредитование", 2018, N 6

Как измерить риски уже выданного портфеля ссуд МСБ, однородных по размеру? Есть несколько альтернатив: подход с использованием внутренних рейтингов, которые необходимо обновить на дату мониторинга; параметрический подход, связанный с моделированием убытков согласно известному аналитику виду распределения (на практике частоту дефолтов прогнозируют распределением Пуассона, а их размер - логнормальным распределением); моделирование непараметрическими методами. Как использование винтажного анализа может дать наиболее реалистичную оценку дефолтности портфеля и связанных с ним потерь?

При накоплении достаточного количества данных закономерности, связанные с поведением ссуд МСБ во времени по отношению к вероятности дефолта, становятся очевидными: в первый год кредиты гасят практически все заемщики, а период от полутора до двух с половиной лет является наиболее рискованным. Игнорирование этого факта может привести к серьезным ошибкам, как будет показано далее.

Методология

Пусть P(t) - портфель выданных поручительств на начало первого квартала года t. В первом квартале портфель состоит из поручительств разных возрастов (число кварталов, прошедших от даты заключения договора поручительства до текущего квартала года t):

,

где Si(t) - сумма выданных поручительств возраста i на начало первого квартала года t;

Tmax - максимальный возраст поручительств.

Считая, что pi - вероятность дефолта по договору, имеющему возраст i, на протяжении квартала зависит только от его возраста и не зависит ни от момента времени t, ни от суммы контракта, найдем вероятность того, что по договору возраста i произойдет дефолт в течение года t. Дефолт может произойти в любой из четырех кварталов с вероятностями:

pi - в первом квартале;

(1 - pi)pi+1 - во втором квартале;

(1 - pi)(1 - pi+1)pi+2 - в третьем квартале;

(1 - pi)(1 - pi+1)(1 - pi+2)pi+3 - в четвертом квартале;

(1 - pi)(1 - pi+1)(1 - pi+2)(1 - pi+3) - ни в одном из кварталов.

Таким образом, вероятность qi того, что дефолт по контракту, имеющему на начало года t возраст i, произойдет в течение года t, равна:

qi = 1 - (1 - pi)(1 - pi+1)(1 - pi+2)(1 - pi+3).

Сумма дефолтов по портфелю будет равна .

Для расчета прогнозного значения суммы дефолтных контрактов SD(t) необходимо знать вероятности p1, ..., pTmax дефолта контрактов каждого возраста 1.., Tmax. Для оценки этих вероятностей предлагается использовать исторические данные. Пусть на начало некоторого квартала q имеется Nq открытых договоров. Обозначим Nqi сумму в рублях всех открытых договоров возраста i:

.

Пусть в течение квартала q дефолт случился для nq договоров. Обозначим nqi сумму в рублях дефолтных договоров возраста i:

.

Оценкой вероятности того, что дефолт в течение квартала q случится для договора возраста i, является показатель:

.

Используя 104 случайных подстановок сумм открытых договоров прогнозного периода согласно их текущему возрасту в исторические данные hqi, получим 104 сценариев убытка портфеля прогнозного периода. Штраф за низкую гранулированность портфеля предлагается рассчитывать так, чтобы убыток в каждом сценарии был не менее минимальной суммы кредита соответствующего периода, скорректированного на долю потерь при дефолте. SD(t) будет равна значению статистического обоснованного доверительного уровня совокупности значений полученных сценариев модели. Усложнением модели будут являться:

  1. Подстановка недискретных данных винтажной дефолтности, подобранных по типу распределения (наиболее близкий вид распределения винтажной дефолтности в большинстве случаев - экспоненциальное распределение).
  2. Создание гибридной модели путем расчета винтажной дефолтности, основанной на давности наблюдения через функцию где а k - количество наблюдений.

При наличии значительного количества данных, распределенных во времени, данную функцию экспоненциального сглаживания целесообразно заменить линейно рассчитываемым весом давности наблюдения относительно размаха дат наблюдений, установив минимальный уровень веса по принципу: , где , и, соответственно, един для всех наблюдений.

Такой подход позволит не удалять из расчетов старые данные, которые при экспоненциальном сглаживании получают вес, близкий к 0, и одновременно не игнорировать нулевые значения дефолтности последних наблюдений путем отражения в знаменателе веса даты не последнего дефолта, а последнего кредитного договора. В качестве порогового значения можно установить величину 0,5, если мы уверены, что качество риск-менеджмента последних периодов значительно отличается от прежних показателей.

  1. Создание гибридной модели путем расчета винтажной дефолтности, основанной на функции волатильности дефолтности рассчитываемых поколений относительно последних наблюдений ("штраф" за волатильность) .
  2. Создание гибридной модели путем расчета винтажной дефолтности, основанной на функции корреляции дефолтности соответствующих поколений, получаемой путем перемножения дефолтности поколения на вариационно-ковариационную матрицу:

.

Итоговые распределения результатов модели лишь в некоторых случаях представляют собой логнормальные распределения - вид распределения, обычно используемый "по умолчанию" аналитиками. В ситуации, представленной на рис. 1, лишь два распределения являются логнормальными, одно - распределение Вейбулла, а остальные представляют собой гамма-распределения согласно информационному критерию Акаике.

Распределение результатов моделирования Рисунок 1

Выбор доверительного уровня моделирования может являться предметом отдельной статьи. Однако необходимо упомянуть, что выбор может быть осуществлен путем подбора моделей на исторических портфелях по правилам, сходным с известным коэффициентом логарифмического правдоподобия LRcc <1> с пороговым значением 5,99, широко использующимся для бэктестирования моделей. В этом отношении следует также упомянуть о возможности применения критерия Expected Shortfall (усредненного значения функции распределения, лежащей за пределами определенной отметки кредитного VaR), спектральных моделей (применения весов к значениям функции вероятности распределения, зависящих от квантиля распределения), однако полагаем, что простая методика определения минимального доверительного уровня, который ни разу не был превышен, представляется наиболее предпочтительной при наличии достаточной статистики.

<1> http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.41.8009&rep=rep1&type=pdf.

Методология на примере

Рассмотрим крупный банк, который развивает свою деятельность. Заложим параметры в модель, упростив некоторые из них (табл. 1 - 3).

Таблица 1

Исходные данные

Исторический портфель, руб.

4 400 000 000

Доля дефолтов, %

3,63

Новый портфель, руб.

7 500 000 000

Действующий портфель на начало периода, руб.

1 000 000 000

Таблица 2

Распределение выдач и дефолтов по кварталам исторического портфеля (1-й и 2-й годы) (руб.)

История

Выдачи

Дефолты

I квартал

1 000 000 000

0

II квартал

1 000 000 000

0

III квартал

1 000 000 000

10 000 000

IV квартал

1 000 000 000

30 000 000

V квартал

100 000 000

40 000 000

VI квартал

100 000 000

40 000 000

VII квартал

100 000 000

20 000 000

VIII квартал

100 000 000

15 000 000

Итого

4 400 000 000

155 000 000

Таблица 3

Новый портфель (3-й год) (руб.)

Период

Выдачи

IX квартал

500 000 000

X квартал

1 000 000 000

XI квартал

2 000 000 000

XII квартал

4 000 000 000

Итого

7 500 000 000

Так как 1 млрд руб. из исторического портфеля согласно табл. 1 все еще действует, а новый портфель составляет 7,5 млрд руб., для прогноза убытков используется сумма 8,5 млрд руб., распределенная по договорам.

Убыточность (процент дефолтов к портфелю) на конец первого года составила 1%. На второй год деятельности, за оба года деятельности убыточность, рассчитанная на основании доли дефолтов в рублях по формуле:

,

составила 3,52% (измерять дефолтность в рублях убытка, а не в штуках представляется идеей довольно очевидной, обратное годится лишь для гомогенных (однородных) портфелей как по динамике, так и по суммам кредитов, что на практике встречается крайне редко). Часто умножают 3,52% на 8,5 млрд руб., получая некорректный результат в 299,4 млн руб. (ошибка усреднения), в то время как портфель может сгенерировать крайне низкий убыток, например в 28 млн руб.



Из табл. 4 видно, за счет чего может произойти прогнозная ошибка, - рассматривается фактор времени.

Таблица 4

Распределение дефолтов по кварталам каждого поколения с учетом новых выдач (винтажный анализ)

Данная таблица детализирует значения табл. 2. Она развертывает во времени информацию о том, по какому кварталу выдачи произошел дефолт. Например, в IV квартале (столбец IV кв.') произошел дефолт в размере 30 млн руб., и он случился по выдачам I квартала (строка I кв.). Чтобы получить сумму дефолтов за какой-либо квартал, нужно сложить вертикальные значения, то есть просуммировать столбец с соответствующим кварталом. В VI квартале общая сумма дефолтов составила 10 млн руб. + 30 млн руб. - итого 40 млн руб., что соответствует табл. 2. Однако, в отличие от табл. 2, в данной таблице мы можем увидеть, что эта сумма дефолтов сложилась из выдач I кв. и III кв.

Из таблицы видно, что дефолты по всему портфелю на 3-й год жизни портфеля составили всего лишь 28 млн руб. (сумма столбцов IX - XII кв.). Чтобы понять, почему так произошло, можем перестроить таблицу в относительные значения как по убыточности, так и по времени (табл. 5).

Таблица 5

Убыточность (%) и срок жизни поколений

Ячейка XII кв.-1' соответствует ячейке XII кв.-XII кв.' табл. 4. XII квартал - это последний квартал выданных нами кредитов, поэтому возраст его равен 1. Срок жизни, то есть количество кварталов, прошедших к текущему моменту с даты завершения данного квартала, также равен 1.

Ячейка XI кв.-2' соответствует ячейке XI кв. - XII кв.' табл. 4. XI квартал - это предпоследний квартал выданных нами кредитов, поэтому возраст его равен 2. Срок жизни, то есть количество кварталов, прошедших к текущему моменту с даты завершения данного квартала, также равен 2, однако из таблицы мы можем посмотреть, как он показывал свою дефолтность и в сроке жизни 1.



Ячейка VII кв.-5' соответствует ячейке VII кв. - XI кв.' табл. 4. Это значит, что в XI квартале кредиты, выданные в VII квартале, имеют возраст 5, что также подтверждается нехитрым вычислением: 7 + 5 - 1 = 11.

Для простоты возьмем год, а не квартал, и создадим шаблон винтажной таблицы: например, первым поколением будет 2016 г. (табл. 6).

Таблица 6

Шаблон винтажной таблицы

Возраст поколения

Срок жизни поколения к настоящему моменту

2009

8

Дефолты 2009 по портфелю 2009



Дефолты 2010 по портфелю 2009

Дефолты 2011 по портфелю 2009

Дефолты 2012 по портфелю 2009

Дефолты 2013 по портфелю 2009

Дефолты 2014 по портфелю 2009

Дефолты 2015 по портфелю 2009



Дефолты 2016 по портфелю 2009

2010

7

Дефолты 2010 по портфелю 2010

Дефолты 2011 по портфелю 2010

Дефолты 2012 по портфелю 2010

Дефолты 2013 по портфелю 2010



Дефолты 2014 по портфелю 2010

Дефолты 2015 по портфелю 2010

Дефолты 2016 по портфелю 2010

-

2011

6

Дефолты 2011 по портфелю 2011

Дефолты 2012 по портфелю 2011

Дефолты 2013 по портфелю 2011

Дефолты 2014 по портфелю 2011

Дефолты 2015 по портфелю 2011

Дефолты 2016 по портфелю 2011

-

-

2012

5

Дефолты 2012 по портфелю 2012

Дефолты 2013 по портфелю 2012

Дефолты 2014 по портфелю 2012

Дефолты 2015 по портфелю 2012

Дефолты 2016 по портфелю 2012

-

-

-

2013

4

Дефолты 2013 по портфелю 2013

Дефолты 2014 по портфелю 2013

Дефолты 2015 по портфелю 2013

Дефолты 2016 по портфелю 2013

-

-

-

-

2014

3

Дефолты 2014 по портфелю 2014

Дефолты 2015 по портфелю 2014

Дефолты 2016 по портфелю 2014

-

-

-

-

-

2015

2

Дефолты 2015 по портфелю 2015

Дефолты 2016 по портфелю 2015

-

-

-

-

-

-

2016

1

Дефолты 2016 по портфелю 2016

-

-

-

-

-

-

-

В данной таблице особенно простым становится преобразование года выдачи в возраст соответствующего поколения. Его можно использовать как шаблон для собственной аналитики, а также трансформировать в более короткие винтажные периоды, увеличивающие размер таблицы: кварталы, месяцы, 10-дневные периоды.

На основании табл. 5 построим график убыточности поколений (рис. 2).

Ненакопительный график убыточности поколений Рисунок 2

Седьмое поколение показывало убыток 3% два раза подряд и является самым "плохим" поколением портфеля. Девятое поколение показывало всего один раз убыток, составивший 0,5%, и является "хорошим" поколением портфеля.

Что касается ошибки усреднения, то, делая прогноз на основе дефолтов в портфеле на базе нескольких прошедших лет, нельзя понять, из каких поколений состоит текущий портфель и какого он возраста. Игнорирование винтажей портфеля при моделировании может привести к существенным ошибкам: смоделированные убытки могут отличаться от фактических приблизительно так, как кривая средних значений отличается от убыточности поколения 5 или 7 на графике.

Практическое применение данного графика заключается в визуальной оценке максимальной убыточности поколений и общем представлении о распределении убытков в зависимости от того, когда был выдан тот или иной блок кредитов. Также мы точно можем понять, что после девяти кварталов убытков по портфелю больше нет: портфель "отжил" свой срок. Больше информации мы сможем получить, перестроив график в накопительный (рис. 3), который получается путем сложения массива предыдущих значений в каждой строке табл. 5.

Накопительный график убыточности поколений (горизонтальный анализ) Рисунок 3

Данный график можно назвать горизонтальным анализом винтажной таблицы, так как исследуются закономерности одного поколения во времени.

Предположения оказались верными: риск-менеджеры 7-го поколения отработали хуже всех. Кажется, что лучше всех отработали риск-менеджеры 9-го поколения. Разберемся, так ли это.

"Невидимая" часть графика, совпадающая с абсциссой, - четыре поколения с нулевыми значениями дефолтности - это 1-е - 4-е поколения, то есть кредиты, выданные в XII, XI, X и IX кварталах соответственно. Вероятно, 1-е, только что выданное (в XII квартале), поколение оценить сложно - не прошло достаточного количества времени. Попробуем применить массив имеющихся значений к оценке того, насколько поведение 1-го - 4-го поколений типично для данных возрастов. Используем статистику нашего портфеля и выстроим гипотезы созревания портфеля поручительств во времени. Для этого исследуем массив значений столбцов винтажной таблицы (вертикальный анализ) - то есть поведение всех поколений портфеля во времени (рис. 4).

Созревание убыточности портфеля во времени (вертикальный анализ) Рисунок 4

Данный график созревания портфеля показывает, как убыточность зависит от возраста поколения.

Получается, что результат 2-го - 4-го поколений лучше медианных значений статистического массива, и тем лучше значения 85-го персентиля и максимума убытков. Таким образом, мы можем сделать вывод, что риск-менеджеры 2-го - 4-го поколений отработали лучше, чем обычно.

Также мы видим ценную информацию: пик убытков приходится на VI и VII кварталы жизни кредита, при этом в течение V и VI кварталов он сохраняется высоким. Это значит, что подводить итоги нужно только после того, как этот пик будет пройден.

После VIII квартала за портфелем можно уже не наблюдать: он в большинстве случаев новых убытков не принесет.

Эта таблица, а вернее массив значений, ее составляющих, важнейшая в винтажном анализе, так как данный массив значений может быть экстраполирован на дальнейшие выдачи и позволяет в том числе прогнозировать поведение новых поколений кредитов.

Таким образом, пример с убытком в 28 млн руб. в наблюдаемом портфеле может быть объяснен крайне просто: большой портфель 1-го года из примера уже созрел и не дает убытков, малый портфель 2-го года находится на пике своей убыточности, но слишком мал, чтобы привести к большим потерям в денежном выражении, а существенный рост выдач 3-го года еще не показал свою убыточность.

Для получения прогноза необходимо последовательно "продвинуть" портфель во времени, взяв случайные величины из винтажной дефолтности возраста соответствующего поколения и принимая во внимание тот факт, что новых выдач по данному поколению уже не будет. Соответственно, на винтажную дефолтность умножается сумма выдачи поколения с поправкой на фактор экспирации (кредитные договоры, которые на предыдущем шаге прогноза уже закрыты, не учитываются). В случае если винтажи рассчитывались на квартальных данных, а прогноз делается на год, искусственно "состарить" портфель необходимо последовательно на один квартал, далее еще на один и далее на то число кварталов, которое содержится в прогнозном периоде (в примере с годовым прогнозом мы последовательно "продвигаем" портфель во времени четыре раза).

Полученные значения являются результатом одной модели. Для прогноза берется 104 моделей, в каждой из которых действия по "состариванию" портфеля повторяются. Сохраненные результаты представляют собой многомерное дискретное распределение, для упрощения интерпретации которого можно выбрать доверительный уровень и рассчитать соответствующий квантиль значений каждого шага прогноза. Для более продвинутой работы с портфелем можно подобрать наиболее подходящий тип распределения и рассчитать его характеристики.

Работая с функцией уже известного распределения, можно перестраивать результаты моделирования без необходимости повторных расчетов и экспериментировать с вопросами оптимальных характеристик нового бизнеса, включая требования к суммам и длительности новых договоров (что позволяет создать некий "идеальный" по убыточности портфель на данных конкретного финансового учреждения), а также значительно расширять горизонты планирования.

Изложенный подход в своей основе довольно известен, однако раз за разом демонстрирует свою применимость на практике, позволяя избежать избыточных оценок CVaR на 99,9%-ном доверительном уровне и далекого от практики (на взгляд автора) подхода к расчету вероятности потерь через дискретное распределение Пуассона. Дополнительным плюсом является отсутствие необходимости формирования каких-либо экспертных оценок или макроэкономических моделей, а также необходимости получения внешних данных по пулу заемщиков.

Кроме того, хотелось бы отметить довольно большое количество опций расчетов, что, с одной стороны, представляет определенный научный интерес, а с другой - обусловливает необходимость единообразного и последовательного применения параметров моделей в случае, если их результаты используются бизнесом на постоянной основе.

Хочется пожелать всем специалистам взвешенных оценок при принятии решений!

В. Козлов

Член экспертного совета журнала