Мудрый Экономист

Маржинальное кредитование на спот-рынке

"Инвестиционный банкинг", 2008, N 2

Как правило, при совершении операций на фондовом рынке клиент задействует не только собственные, но и заемные средства, предоставляемые ему брокером. Эти средства принято называть маржинальными, а саму схему подобного заимствования - маржинальным кредитованием.

Все мидл-офисные и трейдинговые системы, как правило, содержат в себе решения для управления рисками, сопровождающими маржинальное кредитование. Однако использование какой-то одной программы зачастую не позволяет избежать операционных рисков, связанных с корректировкой позиций. Кроме того, представляется полезным показать алгоритмы расчета средств, доступных для маржинальных операций.

Математическая модель маржинального кредитования (индивидуальные лимиты)

Наиболее частым вопросом, решаемым брокером при обслуживании массового клиента на фондовом рынке, является оценка средств, доступных для совершения торговых операций. Такие ограничения принято называть индивидуальными лимитами. Это определение восходит к временам, когда торговые системы еще не умели вводить ограничения для совершения маржинальных операций автоматически. Однако - и в силу длительности того периода, и в силу расхожести понятия "лимиты" - оно до сих пор в ходу. Рассмотрим математическую модель индивидуального маржинального кредитования подробнее.

  1. Существуют множества клиентов K; инструментов E; цен последней сделки инструментов L; количества бумаг в лоте D; инструментов, входящих в обеспечение клиента, O; инструментов, по которым разрешены маржинальные операции R; портфелей клиентов P, сделок C и торговых средств (совокупности собственных средств и лимитов) клиента S.
  2. Портфель клиента, выраженный в денежном эквиваленте, представляет собой сочетание денежных средств и бумаг (1):
                j=N
p = b + SUM l x m x d , (1)
k k j=0 e k e
i i i i j
e
j
где m - количество лотов инструмента e у клиента k ;
k j i
i
e
j
d - размер лота инструмента e ;
e j
j
b - деньги клиента k ;
k i
i

N - количество торгуемых инструментов.

Так как не все инструменты идут в учет обеспечения, денежная оценка портфеля клиента брокером вычисляется согласно (1'):

                j=M
p' = b + SUM l x m x d , (1')
k k j=0 o k o
i i j i j
o
j
где m - количество лотов инструмента o у клиента k ;
k j i
i
o
j
d - размер лота инструмента o ;
o j
j
b - деньги клиента k ;
k i
i

M - количество инструментов, входящих в обеспечение.

    Очевидно, что O = П[E], => p' <= p  .
k k
i i
Так как для реализации схемы риск-менеджмента выражение (1) непригодно,
в дальнейшем под понятием "портфель клиента" будем понимать его денежную
оценку брокером, опуская символ ' в написании p (p вычисляется по
k k
i i
формуле (1')).
  1. Основное условие кредитования представляет собой:
    s   = p  ,                                                        (2.1)
k k
i i

если клиент кассовый, т.е. не использующий заемных средств для операций на фондовом рынке, и

    0 < p   <= s   <= A    x p  ,                                     (2.2)
k k max k
i i i

если клиент кредитуемый.

    A    - максимальный размер плеча кредитования;
max
s - размер торговых средств (лимит) клиента в рублях.
k
i

Под плечом кредитования понимается коэффициент, определяющий отношение заемных средств к портфелю клиента. Разделяют текущее плечо клиента, соответствующее объему кредита, коим клиент уже воспользовался, и максимальное - предельно допустимое значение соотношения обязательств к портфелю.

    4. Кроме того, по каждому маржинальному инструменту (бумагам и деньгам)
существует предельный лимит кредитования для пользователей S ,
пред
позволяющий регулировать количество заемных средств, отдаваемых в
распоряжение одному клиенту. Это необходимо для устранения возможности
дисбаланса кредитования клиентов. Соответственно, необходимо ввести
коэффициенты Z (для денег и бумаг), вычисляемые следующим образом (3.1) и
(3.2):
-
¦ s x l x d
¦ пред r r A x p
¦ r j j max k
¦ j i
¦ -------------------, s < ----------
¦ A x p пред l x d
¦ max k r r r
¦ i j j j
Z = < , (3.1)
k ¦ A x p
i ¦ max k
r ¦ i
j ¦ 1, ---------- <= s
¦ l x d пред
¦ r r r
¦ j j j
L
где r принадлежит R, R = П[E].
j

Соответственно, для денег:

             -
¦ s
¦ пред
¦ д
¦ ----------, s < A x p
¦ A x p пред max k
Z = < max k д . (3.2)
k ¦ i
i ¦
д ¦ 1, A x p <= s
¦ max k пред
¦ i д
L
S = const; S - объем средств кредитования для каждого клиента,
пред пред
не превышающий определенную величину. Таким образом для каждого клиента
рассчитывается Z , представляющий собой соотношение S с объемом
k пред
i
собственных и заемных средств клиента, отвечающим принятому у брокера плечу
кредитования.
  1. Расчет лимита кредитования по отдельному инструменту (бумаге или денежным средствам) без учета задолженностей по другим инструментам производится по формулам (4.1) и (4.2):
                              p
k
i
s = Z x A x --------- + m , (4.1)
k k max l x d k
i i r r i
r r j j r
j j j
p > 0 - размер лимита в лотах,
k
i
где A - размер плеча кредитования;
max
s - размер лимита по инструменту r в лотах;
k j
i
r
j
m - количество лотов инструмента r у клиента k ;
k j j
i
r
j
s = Z x A x p + b , (4.2)
k k max k k
i i i i
д д
p > 0 - размер денежного лимита,
k
i
где A - размер плеча кредитования;
max
s - размер индивидуального денежного лимита клиента k ;
k j
i
д
b - деньги клиента k .
k j
i

Несложно заметить, что при наступлении условия:

               A    x p
max k
i
s < ----------, p > 0 (4.1) будет выглядеть как:
пред l x d k
r r r i
j j j
s = s + m , (4.1')
k пред k
i r i
r j r
j j
а при выполнении s < A x p , p > 0 (4.2) упрощается до:
пред max k k
д i i
s = s + b . (4.2')
k пред k
i д i
д
  1. Под текущим плечом клиента будем понимать отношение задолженности клиента (отрицательных позиций по бумагам и денежным средствам) к размеру его портфеля. Оценка текущего плеча клиента производится по формулам (5.1) - (5.3):
                ¦j=Q                  ¦
¦SUM m x l x d ¦
¦j=1 k r r ¦
¦ i j j¦
¦ r ¦
¦ j ¦
A = -----------------------, m < 0, (5.1)
k p k
i k i
бумаги i r
j
p > 0 - плечо клиента по бумагам,
k
i
где m < 0 - открытая короткая позиция (отрицательное значение
k
i
r
j
количества лотов) инструмента r у клиента k ;
j i

Q - количество инструментов, доступных для маржинальной торговли.

                ¦b  ¦
¦ k ¦
¦ i¦
A = -----, b < 0, (5.2)
k p k
i k i
деньги i
p > 0 - плечо клиента по бумагам,
k
i
где b < 0 - открытая длинная позиция (отрицательное значение) денег
k
i
клиента k .
i

Реальное плечо клиента вычисляется как сумма (5.1) и (5.2):

          ¦      j=Q                  ¦
¦b + SUM m x l x d ¦
¦ k j=1 k r r ¦
¦ i i j j¦
¦ r ¦
¦ j ¦
A = -----------------------------, b < 0, (5.3)
k p k
i k i
i
m < 0, p > 0.
k k
i i
r
j

Таким образом, с учетом анализа текущего плеча (4.1) и (4.2) будут выглядеть следующим образом:

             -                         p
¦ k
¦ i
¦ (A - A ) x --------- + m ,
¦ max k l x d k
¦ i r r i
¦ бумаги j j r
¦ j
¦
¦ p
¦ k
¦ i
¦ (A - A ) x --------- < s , p > 0
¦ max k l x d пред k
¦ i r r r i
¦ бумаги j j j
s = < . (4.1'')
k ¦ s + m , s <= (A - A ) x
i ¦ пред k пред max k
r ¦ r i r i
j ¦ j r j бумаги
¦ j
¦
¦ p
¦ k
¦ i
¦ x ---------, p > 0
¦ l x d k
¦ r r i
¦ j j
¦
¦ 0, p <= 0
¦ k
L i
-
¦ (A - A ) x p + b ,
¦ max k k k
¦ i i i
¦ деньги
¦
¦ (A - A ) x p < s , p > 0
¦ max k k пред k
¦ i i д i
¦ деньги
¦
s = < s + b , s <= (A - A ) x. (4.2'')
k ¦ пред k пред max k
i ¦ д i д i
д ¦ деньги
¦
¦ x p , p > 0
¦ k k
¦ i i
¦
¦ 0, p <= 0
¦ k
L i
  1. Существуют две технологии автоматического кредитования. Первая позволяет открывать длинную позицию по одному из маржинальных инструментов за счет средств, полученных от продажи (наличия короткой позиции) другого инструмента. Технически она реализуется на основе описанной выше схемы: согласно (5.1) - (5.3) и (4.1''), (4.2''), т.к. анализ дополнительных рисков не осуществляется. Заметим также, что эта технология соответствует оценке уровня маржи, утвержденной в Постановлении Федеральной комиссии по рынку ценных бумаг (ФКЦБ) от 13.08.2003 N 03-37/пс. Проблема взаимной ликвидности и волатильности двух инструментов может решаться за счет введения соответствующих коэффициентов. Тем не менее целесообразно рассмотреть альтернативную технологию кредитования, при которой средства, получаемые за счет маржинальных операций по одному инструменту (продажа), не могут использоваться для маржинальных операций по другому инструменту (покупка). При этом к ограничениям (4.1'') и (4.2'') добавляются еще и условия кредитования с учетом уже открытых позиций по инструментам:
             -                         p
¦ k
¦ i
¦ (A - A ) x --------- + m -
¦ max k l x d k
¦ i r r i
¦ бумаги j j r
¦ j
¦
¦ ¦b ¦ p
¦ ¦ k ¦ k
¦ ¦ i¦ i
¦ - ---------, (A - A ) x --------- -
¦ l x d max k l x d
¦ r r i r r
¦ j j бумаги j j
¦
¦ ¦b ¦
¦ ¦ k ¦
¦ ¦ i¦
s = < - --------- < s , b < 0, p > 0 , (4.1''')
k ¦ l x d пред k k
i ¦ r r r i i
r ¦ j j j
j ¦
¦ s + m , s <= (A - A ) x
¦ пред k пред max k
¦ r i r i
¦ j r j бумаги
¦ j
¦
¦ p ¦b ¦
¦ k ¦ k ¦
¦ i ¦ i¦
¦ x --------- - ---------, b < 0, p > 0
¦ l x d l x d k k
¦ r r r r i i
¦ j j j j
¦
¦ 0, p <= 0
¦ k
L i
где r принадлежит R/p .
j k
i
Если же r принадлежит p , s рассчитывается по (4.1'').
j k k r
i i j

Аналогично и для денег:

            -
¦ (A - A ) x p + b -
¦ max k k k
¦ i i i
¦ деньги
¦
¦ j=Q
¦ - SUM ¦m ¦ x l x d , (A - A ) x
¦ j=1 ¦ k ¦ r r max k
¦ ¦ i ¦ j j i
¦ ¦ r ¦ деньги
¦ ¦ j¦
¦
¦ j=Q
¦ x p - SUM ¦m ¦ x l x d < s ,
¦ k j=1 ¦ k ¦ r r пред
¦ i ¦ i ¦ j j д
¦ ¦ r ¦
¦ ¦ j¦
s = < , (4.2''')
k ¦ m < 0, p > 0
i ¦ k k
д ¦ i i
¦ r
¦ j
¦
¦ s + b , s <= (A - A ) x
¦ пред k пред max k
¦ д i д i
¦ деньги
¦
¦ j=Q
¦ x p - SUM ¦m ¦ x l x d , p > 0
¦ k j=1 ¦ k ¦ r r k
¦ i ¦ i ¦ j j i
¦ ¦ r ¦
¦ ¦ j¦
¦
¦ 0, p <= 0
¦ r
L i
где r принадлежит R/p .
j k
i
Если же r принадлежит p , s рассчитывается по (4.2'').
j k k
i i
д
  1. И к схемам маржинальной торговли, реализуемым по (4.1''), (4.2''), и к схемам, рассчитываемым по (4.1'''), (4.2'''), применимы различные коэффициенты для оценки портфеля клиента. Наиболее распространенными из них являются:

В случае отсутствия автоматического механизма расчета волатильности или ликвидности инструмента целесообразно оперировать только последним коэффициентом, т.к. необходимость вести несколько групп параметров для снижения оценки инструмента в портфеле просто увеличит трудоемкость. Таким образом, каждому инструменту множества O будет соответствовать коэффициент множества F, а (1') будет выглядеть как:

                j=M
p = b + SUM f' x l x m x d , (1'')
k k j=0 j o k o
i i j i j
o
j
где f' - вычисляется в зависимости от значений m и f , f
j k j j
i
o
j
принадлежит F:
-
¦ f , m > 0
¦ j k
¦ i
¦ o
¦ j
¦
¦ 1 + (1 - f ), m < 0, f принадлежит [0; 0,5].
¦ j k j
f' = < i
j ¦ o
¦ j
¦
¦ 1 / f , m < 0, f принадлежит [0,5; 1,0]
¦ j k j
¦ i
¦ o
¦ j
L
Соответственно, формула для расчета p меняется в формулах (2.1),
k
i
(2.2), (3.1), (3.2), (4.1), (4.2), (4.1''), (4.2''), (4.1'''), (4.2'''),
(4.1''''), (4.2''''), (5.1), (5.2), (5.3).
  1. Кроме переоценки портфеля понижающий коэффициент необходимо также учитывать при расчете количества бумаг, доступных на покупку или продажу, т.к. плечо клиента будет увеличиваться пропорционально размеру залоговых коэффициентов. При этом (4.1'') и (4.2'') преобразуются следующим образом:
             -                       f  + p
¦ j k
¦ i
¦ (A - A ) x --------- + m ,
¦ max k l x d k
¦ i r r i
¦ бумаги j j r
¦ j
¦
¦ f + p
¦ j k
¦ i
¦ (A - A ) x --------- < s , p > 0
¦ max k l x d пред k
¦ i r r r i
¦ бумаги j j j
s = < . (4.1'''')
k ¦ s + m , s <= (A - A ) x
i ¦ пред k пред max k
r ¦ r i r i
j ¦ j r j бумаги
¦ j
¦
¦ f + p
¦ j k
¦ i
¦ x ---------, p > 0
¦ l x d k
¦ r r i
¦ j j
¦
¦ 0, p <= 0
¦ k
L i
-
¦ (A - A ) f x p + b ,
¦ max k j k k
¦ i i i
¦ деньги
¦
¦ (A - A ) x f x p < s , p > 0
¦ max k j k пред k
¦ i i д i
¦ деньги
¦
s = < s + b , s <= (A - A ) x . (4.2'''')
k ¦ пред k пред max k
i ¦ д i д i
д ¦ деньги
r ¦
j ¦ x f x p , p > 0
¦ j k k
¦ i i
¦
¦ 0, p <= 0
¦ k
L i

Очевидным неудобством применения залоговых коэффициентов является необходимость переоценки доступных денежных средств в зависимости от приобретаемого инструмента (4.2'''').

  1. В связи с наличием разницы между ценой покупки и ценой продажи любого инструмента денежную оценку портфеля клиента правильнее проводить не по цене последней сделки, а по текущим ценам спроса и предложения - в зависимости от позиции по тому или иному инструменту (1'''). Это же правило распространяется на оценку средств для маржинальных операций:
           -       j=M
¦ b + SUM f' x Ask x m x d , m < 0
¦ k j=0 j o k o k
¦ i j i j i
¦ o o
¦ j j
p' < , (1''')
k ¦ j=M
i ¦ b + SUM f' x Bid x m x d , m > 0
¦ k j=0 j o k o k
¦ i j i j i
¦ o o
L j j
где Ask - цена предложения;
o
i
Bid - цена спроса.
o
i
- f x p
¦ j k
¦ i
¦ (A - A ) x ----------- + m -
¦ max k Ask x d k
¦ i r r i
¦ бумаги j j r
¦ j
¦
¦ ¦b ¦
¦ ¦ k ¦
¦ ¦ i¦
¦ - -----------, (A - A ) x
¦ Bid x d max k
¦ r r i
¦ j j бумаги
¦
¦ f x p ¦b ¦
¦ j k ¦ k ¦
¦ i ¦ i¦
¦ x ----------- - ----------- < s ,
¦ Ask x d Bid x d пред
¦ r r r r r
¦ j j j j j
s = < . (4.1''''')
k ¦ b < 0, p > 0
i ¦ k k
r ¦ i i
j ¦
¦ s + m , s <= (A -
¦ пред k пред max
¦ r i r
¦ j r j
¦ j
¦
¦ f x p ¦b ¦
¦ j k ¦ k ¦
¦ i ¦ i¦
¦ - A ) x ----------- - -----------,
¦ k Ask x d Bid x d
¦ i r r r r
¦ бумаги j j j j
¦
¦ b < 0, p > 0
¦ k k
¦ i i
¦
¦ 0, p <= 0
¦ k
L i
-
¦ (A - A ) x f x p + b -
¦ max k j k k
¦ i i i
¦ деньги
¦
¦ j=Q
¦ - SUM ¦m ¦ x Ask x d , (A -
¦ j=1 ¦ k ¦ r r max
¦ ¦ i ¦ j j
¦ ¦ r ¦
¦ ¦ j¦
¦
¦
¦ - A ) x f x p -
¦ k j k
¦ i i
¦ деньги
¦
¦ j=Q
¦ - SUM ¦m ¦ x Ask x d < s ,
¦ j=1 ¦ k ¦ r r пред
¦ ¦ i ¦ j j д
s = < ¦ r ¦ . (4.2''''')
k ¦ ¦ j¦
i ¦
д ¦ m < 0, p > 0
¦ k k
¦ i i
¦ r
¦ j
¦
¦ s + b , s <= (A - A ) x
¦ пред k пред max k
¦ д i д i
¦ деньги
¦
¦ j=Q
¦ x f x p - SUM ¦m ¦ x Ask x d , p > 0
¦ j k j=1 ¦ k ¦ r r k
¦ i ¦ i ¦ j j i
¦ ¦ r ¦
¦ ¦ j¦
¦
¦ 0, p <= 0
¦ r
L i

Таким или подобным образом рассчитывается объем средств, доступный клиенту для совершения операций на фондовом рынке при наличии у брокера услуги маржинального кредитования. Очевидно, что конкретная модель может отличаться от предложенной - каждый брокер волен реализовывать ее по-своему, разумеется, не нарушая при этом требований регулятора рынка.

Математическая модель маржинального кредитования (общие лимиты)

Введение индивидуальных лимитов на спот-рынке - лишь одна из многих задач, стоящих перед брокером. Следующим вопросом является разграничение собственных средств клиентов и ресурсов, предназначенных для совершения маржинальных операций. Необходимо понимать, что помимо дополнительного количества денежных средств под эти нужды брокер должен еще приобрести и держать определенный портфель ценных бумаг. Перейдем к рассмотрению модели, реализующей эти разграничения.

  1. Существуют множества клиентов K; инструментов, по которым разрешены маржинальные операции R; и торговых средств, депонированных на биржу S.
    2. S = S  + S ,                                                     (6)
k f
где S - средства фактических клиентов компании (средства клиентов);
k
S - средства номинального клиента, предназначенные для проведения
f
маржинальных операций фактических клиентов (средства фирмы).
  1. Очевидно соотношение:
    S  <= S  <= S .                                                     (7)
f k f
i=N
4. S = SUM s , s > 0, (8)
k i=1 k k
i i
где s - средства клиента;
k

N - количество клиентов фирмы.

  1. Таким образом, получаем выражение для расчета средств, доступных для совершения маржинальных операций:
             i=N
s = s - SUM s , s > 0. (9)
f i=1 k k
i i

Переходя к вычислению объемов средств для одного инструмента, получаем:

                 i=1
s = s - SUM s , s > 0, (10)
f r i=1 k k
r j i i
j r r
j j
где r принадлежит R.
j
  1. Очевидно также, что:
    i=N
SUM s <= S , s > 0. (11)
i=1 k f k
i i

Или, переходя к выражению для одного инструмента:

    i=N
SUM s <= s , s > 0, (12)
i=1 k f k
i r i
r j r
j j
где r принадлежит R.
j

Очевидно также, что данная модель не является единственной. Часто, предлагая клиенту услугу маржинального кредитования, брокер берет с него обязательства по предоставлению своих бумаг в распоряжение других клиентов. Как правило, такое предоставление является возмездным и приносит клиенту вместе с определенными рисками и дополнительную прибыль.

Заключение

В настоящее время рынок хорошо справляется с управлением рисками при маржинальном кредитовании на спот-рынке. Существует целая гамма продуктов, способных автоматически закрывать позиции клиентов до необходимого уровня маржи, переносить его задолженности на следующий день посредством сделок РЕПО и т.д. Представленные модели являются достаточно простыми. В них не рассматриваются возможности ведения единой денежной позиции для работы на спот-рынке и рынке деривативов, не учитываются обязательства, возникающие по сделкам РЕПО и пр.

Однако публикации подобного рода не распространены, в частности, потому что используемые схемы расчетов представляют собой ноу-хау той или иной компании-разработчика или профессионального участника рынка ценных бумаг.

А.А.Пономарев

ИФК "Метрополь"